コロナ禍で塾講師の動画配信サイトで世界史や日本史の通史が面白く勉強できます。

 大河ドラマなどの時代背景などおさらいするのにも便利で、いいひまつぶしになります。先日、塾講師の背景に写った問題が気になって解いてみました。

はで割り切れるか？

と言うものです。

 ひまついでに、チャレンジ。何日か悩むかなぁと思っていましたが、１５分ほどでとりあえず、解けました。それから、解法をうまくまとめて、納得のいく解答も導くことができました。

は（ x^100 + 1)^100 + (x^2 + 1)^100 +1 と書き、は　x^2 + x + 1 （x^2はxの2乗を表す）と書き改めます。

• ヒント　１）力任せに計算して共通の解を持つことを明かす。いっそ、x^2 + x + 1 = 0 の解を代入してみる。
•   １−１）x^2 + x + 1 = 0　の虚数解を求めて、x^3 を求め、x^100 = x を導く。
•   １−２）x^2 + x + 1 = 0　を変形して、与式に代入すると0 になるから、 x^2 + x + 1で割り切れることを示す。


• ヒント　２）x^2 + x + 1 は (x^3 - 1) = (x - 1)(x^2 + x + 1)　であることを思い出して、
  x^3 = 1、x^2 = -x - 1、x +1 = -x^2、x^2 + 1 = -x であることをうまく代入して、
  x^2 + x + 1 を因数に持つことを導く。

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 まだまだやれるな。エッヘン（ロボタン）

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• ２式が x^2 + x + 1 = 0 ...�@の共通解を持つことを示せば良い。
• (x^3 -1) = 0 から(x^2 + x + 1)(x - 1) = 0と因数分解できるので、
• x^2 + x + 1を因数に持つのだから、x^3 - 1 = 0である。よって、x^3 = 1...�A
• また、�@より x + 1 = -x^2...�B、 x^2 + 1 = -x...�C であるから、
• 与式は  （ x^100 + 1)^100 + (x^2 + 1)^100 +1
• �A�Cより =( ((x^3)^33)*x + 1)^100 + (-x)^100 + 1
•      =( x + 1 )^100 + x^100 + 1
• �Bより  =(-x^2)^100 + ((x^3)^33)*x +1
•      = x^200 + x + 1
•      =((x^3)^66)*(x^2) +x + 1
• �Aより  =x^2 + x + 1
• �@より  =0
• よって、与式は x^2 + x + 1 を因数に持つ、つまり割り切れる。